Definición de media aritmética
La
media aritmética
es el valor
obtenido al sumar
todos los datos
y dividir
el resultado entre el número
total de datos.
es el símbolo de la media aritmética.
Ejemplo
Los
pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
Media aritmética para datos agrupados
Si
los datos
vienen agrupados
en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:
Ejercicio de media aritmética
En
un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones
que muestra la tabla. Calcula
la puntuación media.
|
|
xi
|
fi
|
xi · fi
|
|
[10, 20)
|
15
|
1
|
15
|
|
[20, 30)
|
25
|
8
|
200
|
|
[30,40)
|
35
|
10
|
350
|
|
[40, 50)
|
45
|
9
|
405
|
|
[50, 60
|
55
|
8
|
440
|
|
[60,70)
|
65
|
4
|
260
|
|
[70, 80)
|
75
|
2
|
150
|
|
|
|
42
|
1 820
|
Propiedades de la media aritmética
1.
La suma
de las desviaciones
de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a
cero.
La
suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética
7.6 es igual a 0:
8
− 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =
=
0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0
2.
La suma
de los cuadrados
de las desviaciones
de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.
3.
Si a todos los valores de la variable se
les suma un
mismo número,
la media aritmética
queda aumentada
en dicho número.
4.
Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número.
Observaciones sobre la media aritmética
1.
La media
se puede hallar
sólo para variables
cuantitativas.
2.
La media
es independiente
de las amplitudes
de los intervalos.
3.
La media
es muy sensible a las puntuaciones
extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:
65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110
kg.
La
media es
igual a 74 kg, que es una medida
de centralización poco representativa de la distribución.
4.
La media
no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.
|
|
xi
|
fi
|
|
[60, 63)
|
61.5
|
5
|
|
[63, 66)
|
64.5
|
18
|
|
[66, 69)
|
67.5
|
42
|
|
[69, 72)
|
70.5
|
27
|
|
[72, ∞ )
|
|
8
|
|
|
|
100
|
Definición de moda
La
moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
Se
representa por Mo.
Se
puede hallar la moda
para variables cualitativas
y cuantitativas.
Ejemplo
Hallar la moda de la distribución:
2,
3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4
Si
en un grupo hay dos o
varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la
máxima, la distribución
es bimodal
o multimodal,
es decir, tiene varias
modas.
1,
1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9
Cuando
todas las puntuaciones
de un grupo tienen la misma
frecuencia, no
hay moda.
2,
2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
Si
dos puntuaciones adyacentes
tienen la frecuencia máxima,
la moda es
el promedio
de las dos puntuaciones adyacentes.
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4
Cálculo de la moda para datos agrupados
1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.
Li es el límite inferior de
la clase modal.
fi es la frecuencia absoluta
de la clase modal.
fi--1 es la frecuencia absoluta
inmediatamente inferior a la clase modal.
fi-+1 es la frecuencia absoluta
inmediatamente posterior a la clase modal.
ai es la amplitud de la
clase.
También
se utiliza otra fórmula
de la moda
que da un valor aproximado
de ésta:
Ejemplo
Calcular
la moda de
una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
fi
[60, 63)
5
[63, 66)
18
[66, 69)
42
[69, 72)
27
[72, 75)
8
100
|
|
fi
|
|
[60, 63)
|
5
|
|
[63, 66)
|
18
|
|
[66, 69)
|
42
|
|
[69, 72)
|
27
|
|
[72, 75)
|
8
|
|
|
100
|
2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.
En
primer lugar tenemos que hallar las alturas.
La
clase modal es la que tiene mayor altura.
La
fórmula de
la moda aproximada
cuando existen distintas amplitudes es:
Ejemplo
En
la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y
sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.
|
|
fi
|
hi
|
|
[0, 5)
|
15
|
3
|
|
[5, 7)
|
20
|
10
|
|
[7, 9)
|
12
|
6
|
|
[9, 10)
|
3
|
3
|
|
|
50
|
|
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